[Kreyszig 공업수학][선형대수] 7장 (2) 연립방정식 기본, 행사다리꼴

 

 

Kreyszig 공업수학(상) | Erwin Kreyszig - 교보문고

위의 공업수학 교재에 나오는 내용을 공부하기 위해 정리한 요약노트입니다. 그리고 영어교과서를 기준으로 보고 있기도 하고, 많은 전공서적들에서 영어표현을 많이 사용하기 때문에, 한글용어를 일부러 찾아서 소개는 해볼 생각이지만 용어소개가 끝나면 주요 용어들은 영어로 나오게 될 예정인 점 양해 부탁드립니다.

 

By Fred the Oyster, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=35349662

지난 글에 이어서 선형연립방정식(system of linear equations)에 대해 정리해보았습니다.

목차

사전 용어정리

지난 글에도 나왔던 연립방정식을 다시 살펴보기로 해요. 이미 coefficient matrix와 augmented matrix는 정의해두었어요.

$$ \begin{matrix} 4x_{1} & +6x_{2} & +9x_{3} & = 6 \cr 6x_{1} & & +9x_{3} & =20 \cr 5x_{1} & -8x_{2} & + x_{3} & =10 \end{matrix} $$ 여기서 \(x_{i}\)의 계수만 따서 만든 행렬 $$ A = \pmatrix{4 & 6 & 9 \\ 6 & 0 & -2 \\ 5 & -8 & 1}$$를 계수행렬(coefficient matrix)이라고 하고, 여기에 = 뒤에 있는 수까지 합쳐준 행렬 $$\tilde{A} = \left( \begin{array}{rrr|r} 4 & 6 & 9 & 6\\ 6 & 0 & -2 & 20\\ 5 & -8 & 1 & 10 \end{array} \right)$$ 를 첨가행렬(augmented matrix)이라고 합니다.

이걸 잘 보면, 저 3개 식으로 구성된 연립방정식이 augmented matrix 하나 만으로 정의할 수 있는 것을 알 수 있어요! 귀찮게 x 어쩌고를 쓰지 않아도 저 행렬 하나면 똑같죠? 그러면... augmented matrix만으로 답을 구할 수 있으면 참 좋겠네요? 그게 바로 역행렬까지의 논의의 시작이에요.

 

일단 너무 앞서 나가지 말고, 차근차근 해볼게요. 맨날 앞서나가다가 까먹어서...

동차/비동차 (homogeneous/non-homogeneous)

조금 더 일반적인 상황으로 바꿔볼게요.

$$ \begin{matrix} a_{11}x_{1} & +a_{12}x_{2} & \cdots & +a_{1n}x_{n} & = b_{1} \cr a_{21}x_{1} & +a_{22}x_{2} & \cdots & +a_{2n}x_{n} & =b_{2} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr a_{m1}x_{1} & + a_{m2}x_{2} & \cdots & + a_{mn}x_{3} & =b_{n} \end{matrix} $$

여기에서 모든 \(b_{i}\)가 0이라면, \((x_{1},\;x_{2},\;\cdots,\;x_{n}) = \vec{0}\)가 해가 되겠죠? 이렇게 무조건 한 가지의 해를 가지게 되는 상황을 동차연립방정식(homogeneous system of equations)이라고 합니다. 그리고 이 모든 \(x_{i}\)가 0인 경우를 자명해(trivial solution)라고 표현합니다. 그렇지 않아서 무조건 한 가지가 있다고 보자마자 말하기는 어려운 상황을 비동차연립방정식(non-homogenous system)이라고 할 수 있겠어요. 그리고 여기서도 augmented matrix \(\tilde{A}\)가 있어서 다음과 같다면,

$$\tilde{A} = \left(\begin{array}{rrrr|r} a_{11}x_{1} & a_{12}x_{2} & \cdots & a_{1n}x_{n} & b_{1} \cr a_{21}x_{1} &a_{22}x_{2} & \cdots & a_{2n}x_{n} & b_{2} \cr \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \cr a_{m1}x_{1} &  a_{m2}x_{2} & \cdots &  a_{mn}x_{3} & b_{n} \end{array}\right) $$

주저리주저리 쓸 것 없이 간단하게 들고 다닐 수 있는(?) 형태로 똑같은 연립방정식을 정의할 수 있겠죠?

기본 행 연산(Elementary row operation)

우리가 어렸을 때에 연립방정식을 풀던 것을 떠올려보세요. 다음과 같은 연립방정식이 있다면,

$$\begin{cases} 4x + 5y = 3 & (A) \\ 2x + 3y = 1  & (B) \end{cases}$$

연필이 들고 싶어지죠? 하지만 일단은 머리로만 풀어보기로 해요. (B)에 2를 곱하고 거기서 (A)을 빼주면 \(y = -1\)이 나오고, 그걸 어떤 식이든 대입해주면 \(x=2\)가 나오죠? 단순한 문제입니다. 그런데 이걸 아까 augmented matrix인 채로 풀면 더 좋겠다 이런 생각을 해봤었죠?

$$\left(\begin{array}{rr|r} 4 & 5 & 3  \\ 2 & 3 & 1 \end{array} \right)$$

이렇게 있다고 해보면, 다음과 같은 방법으로 연립방정식을 푼 셈이 되어요! 화살표를 이용해서 그려보면 더 좋겠지만, 그것까지는 조금 번거롭기 때문에 양해바랄게요!

$$ \eqalign{ \left(\begin{array}{rr|r} 4 & 5 & 3 \\2 & 3 & 1 \end{array} \right) &\xrightarrow{(1)} \left(\begin{array}{rr|r} 4 & 5 & 3 \\ 4 & 6 & 2 \end{array} \right) \\ &\xrightarrow{(2)} \left(\begin{array}{rr|r} 4 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \\ &\xrightarrow{(3)} \left(\begin{array}{rr|r} 4 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \\ &\xrightarrow{(4)} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right) } $$

(1)~(4)의 4개의 스텝으로 한 것 같지만, (1), (4)에서는 각각 둘째 줄에 2를 곱한 것, 첫째 줄에 1/4를 곱한 것이므로 상수배에 해당하고, (2)의 경우 둘째줄을 첫째줄로 뺀 것, (3)의 경우는 첫째 줄을 둘째줄의 5배로 뺀 것에 해당해요. 그리고 정말 단순한 생각이지만, 처음부터 첫째 줄과 둘째 줄이 바뀐 채로 시작했어도 답은 같았겠죠?

 

여기서 나오는 것이 기본 행연산(elementary row operation)입니다. 정리해보면,

• 두 행의 교환(interchange of 2 rows)
• 한 행의 상수배를 다른 행에 더하는 것(addition of a constant multiple of one row to another row)
• 한 행을 0이 아닌 상수로 곱하는 것 (multiplication of a row by a nonzero constant)

위에서 살펴보았듯, 기본 행연산은 해집합(solution set)을 변하게 하지 않습니다. 만약 변했다면 어렸을 때 저렇게 풀지 않았겠지요? 그리고 단순 대입에 가깝기 때문에 해집합이 변할 수도 없습니다... 이렇게 기본 행연산은 해집합이 다르지 않은, 동등한(equivalent) 연립방정식을 만들어 줍니다. 

해집합과 연립방정식

어렸을 때 내용이 기억나실 지 모르겠어요. 방정식의 개수와 미지수의 개수 비교해서 해가 없는 지, 무수히 많은 지, 하나로 정해지는 지 따져보던 때가 있었어요. 계수를 따져보기는 해야하지만, 일반적으로,

• 방정식의 개수 < 미지수의 개수: 해가 무수히 많았죠? 그래서 부정, 즉 정할 수 없다고 했었습니다. 영어로는 indeterminate라고 쓰며, 이런 경우 선형방정식의 system이 underdetermined(덜 결정되어 있다)고 합니다.
• 방정식의 개수 = 미지수의 개수: 해가 하나로 정해졌습니다. 이런 경우 선형방정식의 system이 determined라고 합니다.
• 방정식의 개수 > 미지수의 개수: 해가 존재하지 않았습니다. 불능, 즉 해를 구할 수 없다고 했죠? 영어로는 inconsistent, 혹은 impossible이라고 합니다. 그리고 이런 선형방정식 system은 overdetermined(과하게 결정되어 있다)고 합니다. 예를 들어,
  $$\begin{cases} y = x+1 \\ y = 2x+3 \\ y = 3x+5 \end{cases}$$를 생각해보면 한 교점에서 세 개가 만날 수 없습니다. 즉, 세 식을 모두 만족하는 \((x,\;y)\)가 존재하지 않습니다. 그러니 불능입니다. 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 많아도 해가 존재할 수 있는 경우는 적어도 (방정식의 개수) - (미지수의 개수)만큼의 식이 다른 식의 상수배 혹은 다른 식들의 선형결합(linear combination)인 경우에 가능합니다.

행사다리꼴(Row echelon form)/ 기약 행사다리꼴(Reduced row echelon form)

다시 기본 행연산으로 돌아가겠습니다. 그러면서 처음 봤던 연립방정식으로 돌아가보면,

$$ \eqalign{ \left(\begin{array}{rr|r} 4 & 5 & 3 \\2 & 3 & 1 \end{array} \right) &\xrightarrow{(1)} \left(\begin{array}{rr|r} 4 & 5 & 3 \\ 4 & 6 & 2 \end{array} \right) \\ &\xrightarrow{(2)} \left(\begin{array}{rr|r} 4 & 5 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \\ &\xrightarrow{(3)} \left(\begin{array}{rr|r} 4 & 0 & 8 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right) \\ &\xrightarrow{(4)} \left(\begin{array}{rr|r} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \end{array} \right) } $$

여기서 (2)부터는 뭔가 사다리꼴 모양을 하고 있죠?

0을 기준으로 놓으면 사다리꼴의 모양을 가지게 됩니다.

Elementary row operation(기본 행연산)을 하면서,

• 성분이 모두 0인 행은 아래에 깔기
• 사다리꼴 모양이 되도록 맨 앞 0이 아닌 성분(leading entry, left-most non-zero entry)이 그 위의 행 맨 앞 0이 아닌 성분보다 오른쪽에 있도록 하기

를 시행하면 행사다리꼴(Row echelon form)을 만들었다고 할 수 있습니다.

 

그리고 기약 행사다리꼴(reduced row echelon form)은 여기에 추가적인 조건이 붙습니다.

• 행사다리꼴이면서,
• leading entry가 1이면서,
• leading entry를 포함하는 열의 다른 성분은 모두 0이 되기

바로 위에서 배웠던 해집합과의 연관성을 행사다리꼴에서 알 수 있는데요! 다음의 일반적인 행사다리꼴을 생각해봐요.

Row echelon form의 모양

여기서 \(p\le m,\;r_{11} \ne 0\)을 만족하고 있다고 해봐요. 

• \(p \lt m\)이고 \(f_{p+1},\;\cdots,\;f_{m}\) 중 하나라도 0이 아닌 것이 있다면 해가 존재할 수가 없습니다. inconsistent해집니다.
• 이제 \(f_{p+1},\;\cdots,\;f_{m}\)가 모두 0이라고 하면,
  • \(p=n\)이면 해가 유일하게 정해지고,
  • \(p \ne n,\; p \lt m\)이면 해가 무수히 많아집니다. 즉, indeterminate! 이럴 때에는 무작위로 \(x_{p+1},\cdots,\;x_{n}\)을 골라서 \(p\)번째 행에서 가리키는 방정식을 \(x_{p}\)에 대해 풀어주고, 이 과정을 계속 반복하여 \(x_{1},\cdots,\;x_{p}\)를  \(x_{p+1},\cdots,\;x_{n}\)에 대해 나타내는 것을 하면 됩니다. 

머리로만 생각해보려니 조금 힘든가요? 간단한 예를 들어볼게요!

$$\begin{cases} x+y+z = 1\\ x+y = 2 \end{cases}$$ 그러면 \(z = -1\)인 것은 쉽게 알 수 있지만, 해가 무수히 많은, 부정(indeterminate), 그리고 underdetermined 연립방정식이죠? 따라서 다른 미지수에 대해 나타내는 수밖에 없습니다. 즉,

$$\begin{cases} x = 2-t \\ y = t \\z = 1\end{cases}$$ 이런 식으로라도 풀어줘야 하죠. 그 얘기입니다. 별 것 없죠?

 

선형독립/종속 관련한 것까지 다 정리해보려고 했는데 행렬 크기 때문에 글이 너무 커져버려서 다음 글로 미루겠습니다...