[Kreyszig 공업수학][선형대수] 7장 (4) 선형연립방정식의 해

 

Kreyszig 공업수학(상) | Erwin Kreyszig - 교보문고

위의 공업수학 교재에 나오는 내용을 혼자 공부하기 위해 정리한 요약노트입니다. 그리고 영어교과서를 기준으로 보고 있기도 하고, 많은 전공서적들에서 영어표현을 많이 사용하기 때문에, 한글용어를 일부러 찾아서 소개는 해볼 생각이지만 용어소개가 끝나면 주요 용어들은 영어로 나오게 될 예정인 점 양해 부탁드립니다.

By Fred the Oyster, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=35349662

오늘은 선형연립방정식의 해의 존재와 유일성에 대한 내용을 다룰 예정입니다.

목차

뭔가 거창한, 선형방정식 기본정리

정리의 개요

책에 정말 이렇게 써 있어요.

Fundamental theorem for linear equations

뭔가 너무 거창해서 부담이 되지만, 정리를 해볼게요. \(m\times n\) 행렬 \(A\)와 \(\vec{x} = (x_{1},\;\cdots,\;x_{n})^{t}\), \(\vec{b} = (b_{1},\;\cdots,\;b_{n})^{t} \)에 대해,

(1) 존재성
Coefficient matrix를 \(A\), Augmented matrix를 \(\tilde{A}\)라고 두면 다음은 동치이다.
\(\text{rank} \ A = \text{rank} \ \tilde{A} \Leftrightarrow\) 선형방정식은 consistent하다(해가 존재한다)

(2) 유일성
다음은 동치이다.
해가 유일하게 존재한다 \(\Leftrightarrow \text{rank} \ A = \text{rank} \ \tilde{A} = n\)

(3) 부정(indefiniteness)
다음은 동치이다.
해가 무수히 많이 존재한다 \(\Leftrightarrow \text{rank} \ A = \text{rank} \ \tilde{A} = r \lt n \)
\(\rightarrow\) 적절한 \(r\)개의 미지수를 (이 미지수에 의해 생성되는 아행렬-submatrix의 \(\text{rank}\)는 \(r\)이어야 함) 남은 \(n-r\)개의 미지수로 나타내어 결정할 수 있고, 이후에 \(n-r\)개의 미지수에 임의의 수를 넣어 무한하게 해를 구할 수 있게 된다.

증명의 개요

선형대수학에서 증명을 다룰 때에 초반부(대각화 이전)까지는 증명방식이 사실 꽤나 일정해요. 일단 행공간(row space)나 열공간(column space)를 구성하는 열벡터의 집합을 생각하든지, 벡터공간(vector space)을 구성하는 기저 벡터(basis vector)의 집합을 생각하든지, 선형결합을 구성할 벡터(물론 여기서도 기저벡터로 볼 수 있겠네요)의 집합을 생각하든지,

• 행이든 열이든 모은 집합을 일단 표현해보고,
• 선형결합 식도 일단 쓰고,
• 성분 표시도 일단 해보고,
• 멍하니 쳐다보면서 증명방법을 고민한다

간단히 언급만 하자면, 이인석 선생님의 '선형대수와 군'에서 '기계가 되어야 한다'는 말을 이해할 수 있는 대목이죠.

 

이 책에서도 마찬가지였습니다. 자, 노가다를 해봅시다. 

(1)의 증명

먼저 해가 존재하면 augmented matrix와 coefficient matrix의 rank가 같음은 쉽게 증명할 수 있습니다. 먼저 \(A\)의 열벡터를 \(\vec{c_1},\;\cdots,\;\vec{c_n}\)라고 해보면, 해가 존재하는 경우 다음이 성립함을 알 수 있어요.

$$\sum_{i} x_{i}\vec{c_{i}} = \vec{b}$$

즉, \(\vec{b}\)는 열벡터들의 선형결합으로 나타나는 거죠. 이건 아까 말씀드린 대로 다 풀어서 성분별로 써보시면 되는데, 힌트를 드리자면, \(x_{i}\)는 오로지 \(i\)번째 열인 \(c_{i}\)에만 곱해진다는 거에요! 계산 한 번 해보세요!! LaTeX로 쓰기 귀찮아서 그러는 거 아닙니다!!

우리는 행렬의 rank를 구할 때에 열을 기준으로 해도 된다고 배웠죠? \(A\)에 열 하나 \(\vec{b}\)를 추가하여 만든 \(\tilde{A}\)이니까, 다음이 성립함을 알 수 있어요. 

$$\text{rank} \ \tilde{A} = \text{rank} \ A \; \text{또는} \; \text{rank} \ A + 1$$

그런데 \(\vec{b}\)는 열벡터들의 선형결합으로 나타나므로 \(A\)의 열의 집합과 합쳤을 때에 \(\text{rank}\)에 영향을 줄 수가 없어요. 그러므로,

$$\text{rank} \ \tilde{A}= \text{rank} \ A$$

가 됩니다.

 

반대방향도 크게 어렵지 않아요. Augmented matrix와 coefficient matrix의 rank가 같을 때 해가 존재함도 쉽게 증명할 수 있습니다. \(\text{rank} \ \tilde{A}= \text{rank} \ A\)라는 것은 두 행렬의 차이가 \(\vec{b}\) 뿐이기 때문에 \(\vec{b}\)가 \(A\)의 열벡터의 선형결합 형태로 나타남을 의미해요. 그 얘기는,

$$\sum_{i} x_{i}\vec{c_{i}} = \vec{b}$$

형태로 나타날 수 있게 \(x_i\)들이 존재한다는 의미에요. 그런데 이 \(x_i\)를 모으면 그 자체로 선형연립방정식의 해가 되어요. 그러니까 증명 끝이네요.

(2)의 증명

여기서는 유일성의 증명에 대해 잠시! 유일성을 증명할 때에는 항상 귀류법(proof by contradiction; reductio ad absurdum)을 활용할 것을 생각해야 해요! 즉, 해가 하나가 아니라고 하면 모순이 된다는 것을 활용하는 거죠!

 

\(\text{rank} \ A\ = n\)이라는 것은 정의에 따르면 \(A\)의 \(n\)개의 열이 모두 모여도 선형독립이라는 것과 동치입니다. 우선 이 열들을 \(\vec{c_{i}}\)라고 해보면, 위의 선형연립방정식은 다음과 같다는 것도 미리 봐두었죠.

$$\sum_{i=1} \vec{c_{i}} \cdot x_{i} = \vec{b}$$

만약 어떤 다른 해 \(y_{i}\)가 있다고 해볼까요? 그러면 \(\sum_{i=1} \vec{c_{i}} \cdot y_{i} = \vec{b}\)가 성립한다는 건데, 

$$\begin{gather} \sum_{i=1} \vec{c_{i}} \cdot x_{i} = \sum_{i=1} \vec{c_{i}} \cdot y_{i} = \vec{b} \\ \sum_{i=1} \vec{c_{i}} \cdot (x_{i}-y_{i}) = \vec{0} \end{gather}$$

 

여기서 잠깐! 선형독립의 정의가 뭐였죠? 어떤 벡터의 모임이 있을 때에, 영벡터를 나타내는 선형결합이 한 가지, trivial solution으로만 존재한다는 것이었죠! (식으로 써보면 \(\sum_{i} w_{i}\cdot\vec{v_i} = \vec{0} \Rightarrow \forall i,\;w_{i} = 0\)) 그러므로 \(x_{i} = y_{i},\; \forall i\)

 

이게 증명인가 싶죠? 다시 정리해보면 이해가 될 거에요

\(\text{rank}\)가 \(n\) \(\Leftrightarrow\) \(n\)개의 벡터가 선형독립 \(\Leftrightarrow\) \(n\)개의 벡터로 영벡터를 나타내는 선형결합은 trivial solution 뿐

그러니 증명이 된 겁니다 ㅎㅎ

(3)의 증명

이번에는 무수히 많은 해를 표현해야 하는데, 방법은 이전에 계속 봐오던 것과 비슷합니다. 약간의 기술을 쓰지만, 기술이랄 것도 없어요 아직.

 

\(\text{rank} \ A = \text{rank} \ \tilde{A} = r < n\)입니다. 그러면 일단 열벡터를 써보고, 선형독립인 벡터의 모임도 써봐요. 열벡터의 모임을 \(C\), 그 중 선형독립일 수 있는 최대 개수 \(r\)개의 벡터를 적절히 골라 순서대로 번호를 매긴 것(proper renumbering이라고 합니다)을 \(m_{r}\)이라고 하고 그런 벡터의 모임을 \(K\)라고 하면,

$$\begin{gather} C = \{\vec{c_1},\;\cdots,\;\vec{c_n}\} \\ K = \{\vec{c_{m_1}},\;\cdots,\;\vec{c_{m_r}}\} \end{gather}$$

그러면 

$$\vec{b} = \sum^{n} w_{i}\cdot\vec{c_i} = \sum_{j}^{r} y_{j}\cdot \vec{c_{m_{j}}} $$

그렇게 되면 \(K \subset C\)긴 하지만 편의상 표현하자면, \(K\cap C\)에 속하지 않는 벡터들은 \(K\)의 벡터의 선형결합으로 나타나는 것을 정의상 알 수 있으니, \(\vec{c_i} = \vec{c_{m_{j}}}\)를 만족하는 쌍에서는 \(y_{j} = w_{i} + \alpha_{j}\) 형태가 되겠죠. 이해를 돕기 위해 예를 들자면, \(\vec{c_{1}} = \vec{c_{m_1}},\;\vec{c_2} = \vec{c_{m_{1}}} + \vec{c_{m_{2}}}\)이라고 했을 때, \(\vec{c_1},\;\vec{c_2}\) 항의 계수들의 모습은,

$$\eqalign{w_{1}\vec{c_{1}} + w_{2}\vec{c_{2} } &= (w_{1}+w_{2})\vec{c_{m_1}}+w_{2}\vec{c_{m_2}} \\ &= y_{1}\vec{c_{m_1}} + y_{2}\vec{c_{m_2}}}$$

그러니 \(y_{1}\)의 경우는 \(\alpha = w_{2}\), \(y_{2}\)의 경우는 \(\alpha = 0\)이 되는 거죠. 대강 이런 식이 될 거라고 생각해볼 수 있습니다. 

 

이제 해를 생각해봅시다. 일단 해는 존재하는 경우를 다루고 있으니 \(\text{rank} \ A = \text{rank} \ \tilde{A}\)$$\vec{b} = \sum_{j}^{r} y_{j}\cdot \vec{c_{m_{j}}} $$의 해가 유일함은 (2)에서 증명하였습니다. (\(K\)가 선형독립이기 때문이죠) 그러니 \(y_{j},\;j=1,\;\cdots,r\)은 유일하게 결정됩니다. 그러면 남은 \(C \setminus K\) 소속 \(n-r\)개 벡터들이 문제인데, 원래 문제의 해의 일부인 \(w_{i},\; i \in \{m_{1},\;\cdots ,\;m_{j}\}\)를 제외한 나머지 \(w_i\)들이 적절히 모여서 모든 \(\alpha\)를 생성하는 것에 착안해보면 됩니다. 즉, 임의대로 \(C \setminus K\) 소속 \(n-r\)개 벡터들에 곱해질 계수를 정해주면, 모든 \(\alpha_{j}\)가 정해지는 셈이고, \(w_{m_k}\)의 값은 \(y_{k} - \alpha_{k}\)로 유일하게 정해지니까요. 그리고 이런 이유 때문에 해가 무한히 많을 수 있는 것이 됩니다.

 

이 (3)의 증명이 가장 어려웠죠? 그런데 우리가 알고 있는 쉬운 예시를 가지고 생각해보면 됩니다. 고등학교 수학 수준으로 생각해보면, 매개변수 표현이 딱 이 내용이에요! 다음 연립방정식을 생각해볼까요?

$$\begin{cases} x+ y+ z = 1 \\ 2x + 3y + z = 0\end{cases}$$

두 개의 평면의 교점에 대해 고민하는 식이네요. 법선벡터의 내적이 0이 아니므로 두 평면이 평행하지 않아서 무조건 교선이 나오게 되어 있습니다. 이 교선의 방정식을 우리는 매개변수로 구했었잖아요? 이번엔 이게 연립방정식이고 augmented matrix로 구한다고 생각해보면 어떨까요? 자세한 풀이는 직접 해보면서 고민해보신다면 위의 증명이 이런 얘기였구나! 하실 수 있을 거에요.

---

사실 앞선 글에서 다룬 \(\text{rank}\)에 관한 내용이나 차원, 그리고 나아가 벡터 공간에 대한 자세한 이야기는 공업수학 수준에서는 아주 겉핥기만 하기 때문에 엄밀하게 보기 어려워요. 공업수학 책으로 정리해보고 있는 이유도 겉핥기이기 때문이기도 하죠 ㅎㅎ 나중에 더 자세히 다룰 기회가 있다면 그 때 정리해보려고 해요.

 

다음 글에서는 행렬식(determinant)에 대해 다뤄보도록 하겠습니다.