[Kreyszig 공업수학][선형대수] 7장 (6) 크레이머규칙

Kreyszig 공업수학(상) | Erwin Kreyszig - 교보문고

위의 공업수학 교재에 나오는 내용을 혼자 공부하기 위해 정리한 요약노트입니다. 그리고 영어교과서를 기준으로 보고 있기도 하고, 많은 전공서적들에서 영어표현을 많이 사용하기 때문에, 한글용어를 일부러 찾아서 소개는 해볼 생각이지만 용어소개가 끝나면 주요 용어들은 영어로 나오게 될 예정인 점 양해 부탁드립니다.

 

사실 크레이머 규칙(Cramer's rule)과 역행렬이 직접적인 연관성이 있는 것은 아닙니다. 물론 전혀 연관성이 없다고 볼 수는 없겠지만, 이 책의 역행렬 부분이 좀 빈약하기 때문에 묶어서 정리하고 바로 고유치문제로 넘어가려고 해요. 다음 글에서 역행렬을 모아서 정리하고 고유치문제를 다뤄보겠습니다.

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목차

크레이머의 규칙 (Cramer's rule)

아마 공업수학이나 다변수 미적분(multivariable calculus)를 다루는 수업을 들어보셨다면 크레이머 규칙은 많이 들어보셨으리라고 생각해요. 여기서는 규칙의 내용을 보고 증명하고 넘어가볼 거에요.

Cramer's rule이란?

연립방정식의 해를 행렬식을 이용하여 구할 수 있다는 내용입니다. 대단한 건 없지만, 말이 좀 길어요. 다음과 같이 나타납니다.

\(n\times n\) 정사각행렬 \(A\)에 대해 선형연립방정식 \(A\vec{x} = \vec{b}\)가 있다고 하자. 그리고 행렬 \(A\)의 행렬식을 \(D\), \(i\)번째 열을 \(\vec{b}\)로 치환하여 계산한 행렬식을 \(D_i\)라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
(1) \(D\ne 0\)이라면, \(\vec{x}\)는 유일하게 결정되며,
$$x_{i} = D_{i}/D$$
(2) Homogeneous linear system일 때, 즉, \(\vec{b} = \vec{0}\)일 때 \(D\ne 0\)이라면 trivial solution만을 유일한 해로 가진다.

증명(이라고 쓰지만 사실상 유도)

해가 유일하게 결정되는 부분은 간단히 언급하고 (1)의 식을 유도하는 식으로 해볼게요! 전 글을 안 보셨으면 이해가 어려워요. 꼭 읽고 오셔야 합니다~ 다 보시기 어려우면 맨 뒤의 응용 부분을 보시면 돼요.

[Kreyszig 공업수학][선형대수] 7장 (5) 행렬식에 대해

\(\vec{x} = (x_{1}\; x_{2}\;\cdots\; x_{n})^{t}\), \(\vec{b} = (b_{1}\; b_{2}\;\cdots\; b_{n})^{t}\)라고 둬보겠습니다. 이제 정의에 나타난 \(D_{k}\)를 생각해보죠. \(D_{k}\)는 다음과 같이 나타납니다.

$$D_{k} = \det(\pmatrix{\cdots & a_{1(k-1)} & b_{1} &\cdots \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \cdots & a_{n(k-1)} & b_{n} &\cdots})$$로 되겠죠. 이걸 \(k\)번째 열을 따라서 행렬식을 cofactor expansion하면,

$$D_{k} = \sum_{i} b_{i}C_{ik}$$

\(C_{ik}\)는 \(ik\)번째 entry를 기준으로 만든 cofactor가 됩니다. 그리고 \(A\)의 행렬식은 

$$D = \sum_{i} a_{ik}C_{ik}$$입니다. 이 두 식의 관계를 찾으면 Cramer's rule이 유도됩니다. 

$$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ \vdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots a_{nn}x_{n} = b_{n} \end{cases}$$임을 다시 떠올려서 정리해보면,

$$\eqalign{D_{k} = \sum_{i}b_{i}C_{ik} &= \sum_{i}\left( \sum_{j} a_{ij}x_{j} \right) C_{ik} \\ &= \sum_{j} x_{j} \sum_{i} a_{ij}C_{ik} \\ &= x_{k}\sum_{i}a_{ik}C_{ik} + \sum_{j\ne k} x_{j} \sum_{i} a_{ij}C_{ik} \\ &= x_{k}D + \sum_{j\ne k} x_{j} \sum_{i} a_{ij}C_{ik}}$$

 

이제 \(\sum_{j\ne k} x_{j} \sum_{i} a_{ij}C_{ik}\)가 0임을 보여보겠습니다. 크게 어렵지는 않아요. 앞의 \(x_{j}\)항을 무시해보면, 그리고 \(j\ne k\)라는 것을 유념하면, 행렬식을 구하긴 하는데, \(k\)번째 열이 아닌 \(j\)번째 열의 성분과 \(k\)번째 열의 성분을 기준으로 한 cofactor를 곱해서 가짜 cofactor expansion을 하겠다는 말이 됩니다. 그러면, 사실상 \(k\)번째 열에 \(j\)번째 열의 성분을 복사해놓고 정의대로 행렬식을 구한 것과 같습니다. cofactor를 만들 때는 minor를 생각하고, minor를 \(k\)번째 열에 따라서 계산하면 항상 \(k\)번째 열은 삭제되잖아요? 그래서 그렇습니다. 아래 그림으로도 그렸는데, 이미 무슨 말인지 이해가시겠죠? 

직접 적어본 건데 대충 이런 느낌입니다. LaTeX로 표현하기가 좀 귀찮아서...

그러므로 이 행렬식 아닌 행렬식의 값은 0이 됩니다. 이유는? 두 열 혹은 두 행이 같은 행렬의 행렬식의 값은 0이라는 것 때문이죠.

 

따라서

$$x_{k}D = D_{k},\;x_{k} = {D_{k}\over D}$$

\(D\ne 0\)이니까 나눌 수 있는 거죠.

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이번 글은 엄청 짧아졌네요;; 다음 글에서 뵙겠습니다~