[Kreyszig 공업수학][선형대수] 7장 (5) 행렬식에 대해

Kreyszig 공업수학(상) | Erwin Kreyszig - 교보문고

위의 공업수학 교재에 나오는 내용을 혼자 공부하기 위해 정리한 요약노트입니다. 그리고 영어교과서를 기준으로 보고 있기도 하고, 많은 전공서적들에서 영어표현을 많이 사용하기 때문에, 한글용어를 일부러 찾아서 소개는 해볼 생각이지만 용어소개가 끝나면 주요 용어들은 영어로 나오게 될 예정인 점 양해 부탁드립니다.

By Claudio Rocchini - Own work, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=2788190

그동안 조금 지겨웠지만 연립방정식에 대해서 알아보며 행렬의 여러 개념을 봤다면, 이번 글에서는 또 다른 개념, 행렬식(determinant)에 대해 알아보도록 하겠습니다. 이미 들어보신 분도 있고(고등학교든 대학교든) 들어봤어도 기억에서 지워버린 분도 있겠지만, 찬찬히 살펴보려고 해요 (저는 후자!)

목차

행렬식의 정의

간단한 행렬의 행렬식

고등학교 때에 행렬을 배워보셨나요? 요즘은 과학고에서 고급수학이라는 이름으로 수학을 배우지 않으면 고등학교 과정에서 행렬 자체를 안 배우니 행렬식조차 배우지 않는 것으로 알고 있는데요. 이전 고등학교 교육과정이 기억나신다면, 혹은 과고 출신이셔서 기억이 나신다면 \(2\times 2\) 행렬에 대해 다음과 같이 정의했었습니다.

$$A = \pmatrix{a & b \\ c & d},\;\det{A} = ad-bc$$

그리고 과고 출신이시거나 대학교 미적분학을 배우면서 vector calculus를 해보셨다면, \(3\times 3\) 행렬식도 열심히 외우셨겠죠? 학교나 교과서마다 방법은 다르겠지만,

$$\det{\pmatrix{a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}}} = a_{11}\det{\pmatrix{a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33}}} - a_{12}\det{\pmatrix{a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33}}} + a_{13}\det{\pmatrix{a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}}}$$

일반적인 행렬의 행렬식

일반적인 정사각행렬에 대해서는 보통 여인수 전개(cofactor expansion), 혹은 라플라스 전개(Laplace expansion)을 이용해 정의합니다. 이외에도 여러가지 정의법은 있는 것 같던데, 여기서는 하나만 다뤄보도록 할게요. \(n\times n\) 행렬 \(A\)에 대해 다음과 같이 행렬식(determinant)을 정의합니다.

$$\eqalign{\det{\pmatrix{a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}}} &= \sum_{i}^{n}a_{ji}C_{ji} \\ &= \sum_{i}^{n}a_{ik}C_{ik}}$$

여기서 첫번째 등호의 덧셈 식은 \(j\)번째 행을 따라서 여인자 전개한 것이고, 두번째 등호의 덧셈 식은 \(k\)번째 열을 따라서 여인자 전개한 것이에요. 여인자는 다음과 같이 정의해요.

$$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$

그리고 여기서 \(M_{ij}\)는 소행렬식(minor)라고 하고, 행렬의 \(ij\) 성분을 포함하는 행과 열을 지운 상태의 행렬로 행렬식을 구하는 것을 말해요.

 

행렬식에 대해 다루는 방식이 책마다 퍽 다르다는 것을 미리 말씀드릴게요. 정의에서 열로 전개해도 행으로 전개해도 같다는 것을 먼저 제시하고 논의하는 책이 있고, 우선 첫 행에 대한 전개만 얘기해주고 다른 행으로 전개해도 되고 열로 전개해도 됨을 증명해나가는 책도 있어요. 어떤 쪽이든 결과적으로 알게 되는 내용은 비슷비슷해요.

행렬식의 성질

행렬식의 성질과 이에 따른 여러 정리들을 증명할 때에는, 수학적 귀납법을 절대 잊지 않는 것이 중요한 것 같아요. 다른 단원들과 다르게 특히 많이 귀납법을 쓴답니다.

 

일단 다음과 같은 성질을 가짐을 알 수 있어요. 어떻게든 가우스 소거법에서처럼 elementary row/column operation을 하고 싶어하는 저자의 마음이 엿보였어요.

(1) 2개의 row를 바꾸든, 2개의 column을 바꾸면 \(\det\)의 부호가 바뀜
(2) 한 row의 상수배를 다른 row에 더하면 \(\det\)의 값이 변화 없음
(3) 한 row를 상수배하면 \(\det\)값 자체가 상수배 됨. 그러니 행렬 자체를 상수 \(c\)배하면 \(\det\)는 \(c^n\)배가 되어버림.

(1)의 증명

수학적 귀납법(mathematical induction)을 쓰면 쉽습니다. \(n=2\)일 때의 증명은 너무 쉬우니 (바로 쉽다고 느껴지지 않으면 직접 써보세요! 금방해요!) 귀납가정으로 \(n-1\)일 때 성립한다고 해보고 \(n\)일 때에도 성립하는지 보면 되겠어요.

 

\(A\)의 \(i\)번째 행과 \(j\)번째 행을 바꿨다고 가정해봅시다. 바꾼 뒤의 행렬은 \(B\)라고 해볼까요. 그리고 cofactor expansion은 \(i,\; j\)번째 행이 아닌 다른 행을 골라서 전개해보도록 해요. 이걸 \(k\)번째 행이라고 해보면,

$$\begin{gather} \det{A} = \sum_{m=1}^{n}(-1)^{k+m}a_{km}M_{km} \\ \det{B} = \sum_{m=1}^{n}(-1)^{k+m}a_{km}N_{km} \end{gather}$$ 여기서 \(M,\;N\)은 각각 \(A,\; B\)의 minor들인데, 정의에 따라 \((n-1) \times (n-1)\) 행렬의 행렬식들이 되므로 귀납가정을 만족하게 되고, \(i,\; j\)번째 행이 아닌 다른 행을 기준으로 전개하는 중이므로 두 행이 그대로든 바뀐 채로든 살아있다는 것을 아니까,

$$ M_{km} = - N_{km}$$가 되니까 증명 완료입니다.

(1)의 따름정리(Corollary)

여기서 바로 나오는 결과가 있어요!

두 행이 같거나 두 열이 같은 행렬의 행렬식은 0

이건 너무 당연하죠? 같은 두 행을 바꾸게 되면 (1)에 따라서 부호가 바뀌어야 하는데, 같은 두 행을 바꾸어도 원래 행렬과 같으니까요. 식으로 한 번 써볼까요? 아까처럼 행을 바꾸기 전을 \(A\), 바꾼 후를 \(B\)라고 하면,

\[A = B,\;\det{A} = \det{B} \stackrel{\text{(1)}}{=} -\det{B}\]

이니까 증명되죠?

(3)의 증명

(2)의 증명을 위해서 미리 증명하려 하지만, 사실 정의에 의해 당연한 부분이에요. '그러니' 뒤의 부분은 이걸 \(n\)번 하면 증명할 수 있어요!

(2)의 증명

$$\det(\pmatrix{\vdots \\ \vec{a} + \vec{b} \\ \vdots}) = \det(\pmatrix{\vdots \\ \vec{a} \\ \vdots}) + \det(\pmatrix{\vdots \\ \vec{b} \\ \vdots})$$임은 여인자 전개 정의에 따라 알 수 있습니다. (혹시 왜인지 궁금하셔서 댓글에 문의해주시면 따로 올려볼게요) 그러므로 

$$\eqalign{ \det(\pmatrix{\vdots \\ \vec{a} \\ \vdots \\ c\vec{a} + \vec{b} \\ \vdots}) &= c\det(\pmatrix{\vdots \\ \vec{a} \\ \vdots \\ \vec{a} \\ \vdots}) + \det(\pmatrix{\vdots \\ \vec{a} \\ \vdots \\ \vec{b} \\ \vdots}) \\ &= \det(\pmatrix{\vdots \\ \vec{a} \\ \vdots \\ \vec{b} \\ \vdots})}$$

임을 (1)의 따름 정리와 (3)을 통해 알 수 있어요. 그러니 증명이 되어버렸죠?

더 응용한다면?

물론 정의에서 열로 전개해도 된다고 해버려서 의미 없기는 합니다만, 책마다 논리전개가 다른 거니까요. 일단은 받아들이고 아래의 응용버전을 확인해봤어요.

(ㄱ) 위의 (1)~(3)은 열에 대해서도 성립한다.
(ㄴ) transpose를 취해도 행렬식은 같다. 즉, \(\det(A) = \det(A^{t})\)
(ㄷ) 0인 행이나 열이 있는 행렬의 행렬식은 0이다.
(ㄹ) 완전히 동일한 열이나 행이 있는 행렬의 행렬식은 0이다.
(ㅁ) 한 행이나 열의 상수배가 다른 행이나 열에 있다면, 행렬식은 0이다.

위의 (1)~(3)까지 모두 증명이 가능하다는 것을 위의 증명과정을 보면 알 수 있겠죠? 

 

여태까지의 논의를 보면 알 수 있는 것은, 정말 Gaussian elimination을 하고 싶어 안달이라는 점이죠. 다시 말해, Gaussian elimination을 해도 행렬식의 값은 일정하다는 것을 확인하고 싶은 의도가 보인다는 거에요.

 

그냥 정리를 해두고 시작해되겠어요.

행렬식의 값은 행렬에 Elementary row/column operation을 해도 변하지 않는다.

그러고나서 다음 정리들을 보더라구요. 크게 어렵지 않게 위의 내용들을 바탕으로 증명할 수 있습니다.

(1) \(\text{rank} \ A = r\)가 1 이상 \(\Leftrightarrow \)\(A\)는 행렬식의 값이 0이 아닌 \(r\times r\) 아행렬(submatrix; 행렬 속의 작은 행렬)을 가진다.
(2) (1)의 경우, \(A\) 속에 \(r\)개를 초과하는 개수의 행을 가진 정방형의 아행렬의 행렬식은 0이다.
(3) 만약 \(m=n\)일 때, 
\(\text{rank} \ A = n \Leftrightarrow \ \det A \ne 0\)

(1)부터 차근차근 생각해보죠. \(\text{rank} \ A = r\)가 1 이상이라는 것은 0이 아닌 행 혹은 열이 적어도 하나는 있다는 것이고, 그러면 elementary row/column operation을 해서 대각행렬, 혹은 위삼각행렬(upper triangular)를 만들 수 있다는 얘기가 됩니다. 그렇다면 그 아행렬을 reduced row echelon form, 혹은 row echelon form으로 만들어 행렬식을 구할 수 있다는 말이 되죠. 그러므로 주대각성분(main diagonal entry)만을 곱한,

$$\det(A) = \prod_{n=1}^{r}a_{nn}$$로 구할 수 있고, 이것이 0이 아니라는 말이 됩니다. (왜 이렇게 될까요? 궁금하면 댓글을 달아주세요!) 그러므로 적어도 1개 이상의 대각성분을 갖는, 아행렬은 찾을 수 있는 것이죠.

 

(2) 여기서 행을 한 개라도 더 추가하면 행렬식이 0이 됨은 elementary row/column operation과 위의 (ㄷ)을 생각하면 되겠죠?

 

(3)의 경우는 반대로 (1)을 적용해보면 됩니다. \(r = n\)이라면 (1)에 의해 \(n\times n\) 아행렬이 존재한다는 건데, 그건 바로 \(A\)나 다름 없으므로 증명이 되어버리는 것이죠. 결국 (1)과 같은 말인 셈입니다.

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이미 너무 많이 길어져버렸어요😥 다음 글에서 크레이머의 규칙(Cramer's rule)을 다루면서 역행렬을 얘기해보고 7장 내용을 마무리지어보고 싶어요. 그러고 나면, 양자역학 시리즈를 하면서 다뤘던 그 고유치 문제(eigenvalue problem)에 대해 다뤄볼 수 있겠어요. 공업수학에서의 선형대수학 파트가 끝이 보여요~